문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 쿠르트 괴델 (문단 편집) === [[프로그래밍|컴퓨터 프로그래밍]]에 기여 === 1930년 당시, [[에니악|다목적 정보 처리 프로그램 컴퓨터로 기능할 수 있는 실제 물리 장치가 실현되는 것]]은 아직 수십 년 뒤의 일이었다. 그렇지만 오늘날 현대의 프로그래밍 언어에 지식을 가진 사람이 그 해에 씌어진 괴델의 결정 불가능성 논문을 살펴보면 컴퓨터 프로그램과 닮은, 45번까지 번호가 붙은 식을 보게 될 것이다. 닮은 것은 우연이 아니다. 불완전성 논리 증명, 그러니까 PM(수학원리)에서의 증명의 부호라는 속성이 PM 내부에서 표현 가능하다고 논증하는 과정에서 괴델은 프로그래밍 언어를 설계하는 사람들과 그 언어로 프로그램을 작성하는 사람들이 맞부딪칠 문제들과 같은 여러가지 문제를 다뤄야만 했다. 가장 기본적인 수준에서, 현대의 컴퓨터는 0과 1의 짧은 문자열을 통해 간단한 기초 연산만 수행할 수 있다. 이른바 고급 프로그래밍 언어의 설계자들은 프로그래머들이 다루고 싶어 하는 복잡한 연산을 응축시킨 언어를 그들에게 제공하는 업무를 맡게 된다. 이런 언어를 사용하여 작성된 프로그램이 컴퓨터로 실행되기 위해서는 [[기계어]], 다시 말해 프로그램을 실행하기 위해 필요한 기초 연산의 세부 목록으로 번역되어야 한다. 이것은 이른바 [[인터프리터]]나 [[컴파일러]]라고 부르는 특별한 프로그램에 의해 수행된다. 결정 불가능한 명제가 존재한다는 괴델의 증명의 핵심은 PM의 증명 가능성이 PM 자체에서 표현될 수 있다는 사실이다. 괴델은 몹시 회의적일 사람들에게 자신의 혁명적인 결과를 제출할 것이라는 점을 매우 잘 알고 있었고 어떠한 의심도 없기를 원했다. 그리하여, 그는 외부에서 본 PM의 추론 규칙과 공리에 상응하는 기호열들의 부호들에 대한 복잡한 연산들을 알기 쉽게 세분화하는 문제와 그 연산들을 PM의 기호 언어로 쓴 표현들로 변형하는 문제에 부딪혔다. 이 문제를 풀기 위해서 괴델은 괴델수(Gödel Numbering)라는 특수 언어라고 할 수 있는 것을 고안했는데, 그 언어를 통해 필요한 연산이 단계적인 방식으로 전개될 수 있었다. 각 단계는 숫자들에 대한 연산의 정의들로 이루어져 있으며 이 숫자들에 대한 연산은 괴델이 사용하고 있던 부호들을 통해서 PM의 표현들에 대한 해당 연산에 상응한다. 그 정의들은 괴델의 특수언어에서, 이전 단계에서 이미 정의한 항목들에 의해 표현되었다. 이 언어는 잘 설계되어서, 그런 정의에 따라 도입된 연산들을 PM 안에서 적절하게 표현할 수 있도록 해주었다. [[고트프리트 빌헬름 라이프니츠|라이프니츠]]는 인간의 사고 대부분을 계산으로 환원시킬 인공 언어의 개발을 제안했었다. [[고틀로프 프레게]]는 자신의 《개념 표기법》에서, 수학자들이 널리 쓰이는 추론을 어떻게 실제로 포착할 수 있는지 보여주었다. [[앨프리드 노스 화이트헤드|화이트헤드]]와 [[버트런드 러셀]]은 논리학의 인공언어로 실제의 수학을 발전시키는데 성공했다. [[다비드 힐베르트]]는 그러한 언어에 대한 메타수학적 연구를 제안했다. 그러나 괴델 전까지는 아무도 이런 메타수학적 개념들을 어떻게 언어 자체에 구현할 수 있는지 구상하지 못했다. 게다가 괴델은 결정 불가능한 명제 U를 구성하면서, 이 명제를 서술하는 데에는 어떠한 색다른 수학적 개념도 필요하지 않다고 논증하기를 원했다. 이 목적을 위해 괴델은 [[중국인의 나머지 정리]]라고 알려진 기초 정수론에서 나오는 정리를 사용해서 자신의 특수 언어로 표현할 수 있는 모든 연산이 어떻게 자연수의 산술이라는 기초 언어로 표현될 수 있는지 보여주었다. 이를 통해 결정 불가능 명제 U 자체가 이 기초 언어로 표현될 수 있었다. 이것이 특별히 의미하는 바는 다음과 같다. 자연수를 값으로 가질 수 있는 변항들, 산수의 연산 +와 ×, 기호=, 프레게의 논리학의 기초 연산으로 오늘날에도 쓰이는 ¬, ⊃, ∧, ∃, ∀만을 사용해 결정 불가능한 명제 U를 나타낼 수 있다는 것이다. 결론은, 이런 빈약한 어휘로 제약받더라도 PM안에서 결정 불가능한 명제들이 구성될 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기